Culturalizare cu Fibonacci

Câți dintre voi știți câte ceva despre Fibonacci? Ai AI AI AI? Nu mulți… da știu… Nici eu nu știam multe chestii până azi. Știam că e pur și simplu un matematician ce nu a avut de lucru și a descoperit o serie de numere stupide ce au un algoritm în informatică, algoritm ce trebuia ca eu să îl învăț și atât. Cine a fost Fibonacci și ce a făcut el mai mult de atât, sincer, nu m-a interesat niciodată. Însă miercuri, la ora de informatică, discutând despre algoritmul lui Fibonacci, toți fiind sfinți datorită neștiinței noastre sau mai bine zis uitării cu timpul a algoritmului din informatică, am fost întrebați ce știm despre Fibonacci! Ce a făcut el? Cine a fost el? Ce-i cu numărul și proporția de aur ( Huh… ce-or mai fi și astea? :-s ) ? Ce importanță are numărul lui Fibonacci în natură ( pe bune? seria aia enervantă de numere are vreo importanță în natură, în afara faptului că ne stresează pe noi în timpul școlii? )? Ei bine.. da, are o importanță, iar eu am fost cu totul fascinată de seria lui FIbonacci după ce mi-am făcut ( în mod conștincios, ca de fiecare dată) tema la informatică, adică un referat despre tot ceea ce înseamnă Fibonacci și seria lui infinită de numere, cu tot cu numărul ”phi” și zecimalele lui infinite.

Astfel mai jos, am să vă fac și vouă cunoscute cele ce eu le-am aflat despre acest italian Fibonacci, despre importanța numerelor lui în tot ceea ce ne înconjoară, despre proporția numerelor, despre dreptunghiul de aur.
( proiectul e power point, așa că aici vă voi prezenta fiecare conținut al slideului)

Fibonacci

Numerele de aur

Fibonacci – omul

•Leonardo Pisano Bigollo, este numele adevărat, fiind cunoscut și sub numele de Leonardo of Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci. Născut în 1170, a murit în 1250, la vârsta de 80 de ani.

•În amintirea oamenilor din epoca modernă și contemporană a rămas cunoscut ca fiind cel mai talentat matematician al Evului Mediu, prin răspândirea sistemului numeral hindus-arab în publicația sa din 1202, Liber Abaci ( Cartea Calculului), în care a folosit șirul ce îi poartă numele pentru a explica cele scrise.

•Datorită tatălui său Guillermo ce a fost consultant pentru Pisa, Leonardo încă de mic a călătorit cu tatăl său pentru a-l ajuta, astfel, având posibilitatea de a învăța despre sistemul numeral hindus-arab. Descoperind faptul că matematica cu cifre hindus-arabe este mai simplă decât cea cu cifre romane, Leonardo a călătorit mai apoi în întreaga lume mediteraneană pentru a studia sub îndrumarea celor mai mari matematicieni a vremii din lumea mediteraneană, astfel la întoarcerea sa a publicat cartea Liber Abaci în care a expus tot ceea ce el învățase în călătoria sa.

•A devenit oaspete de onoare al împăratului Frederick II, ce era fascinat de matematică și științe în general.

•În 1240, Republica din pisa l-a onorat prin acordarea unui salariu pentru contribuția avută în științele matematicii.

•În secolul 19 s-a ridicat o statuie a lui Fibonacci în centrul Pisei, statuie ce astăzi de găsește la galeria de vest Camposanto.

•Alte publicații ale lui Fibonacii au fost:
•Practica Geometriae (1220 ) – compendiu de geometrie și trigonometrie
•Flos (1225) – rezolvări ale problemelor propuse de Johannes Palermo
•Liber quadratorum ( Cartea pătratelor) – dedicată lui Frederick II
•Di minor guisa – carte despre aritmetica comercială ( a fost pierdută)
•Catea comentariu asupra elementelor lui Euclid ( carte pierdută )

Șriul Fibonacci

•Această secvență e realizată prin alegerea a două numere și repartizarea celorlalte numere prin regula că fiecare număr trebuie sa fie suma celor doua numere precedente:

    0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

•Aceasta regula simpla genereaza o secventa numerica ce are multe calitati surprinzatoare:

•Oricare 3 numere adiacente din secvență: 1.ridicarea numărului din mijloc la pătrat; 2. înmulțirea primului nr cu al 3-lea nr. 3. Diferența dintre cele 2 rezultate va da întotdeauna 1. ( ex.5, 8, 13:  8^2=64; 5*13=65; 65-64=1 )

•Oricare 4 numere adiacente din secvență: 1. se înmulțesc numerele din capete; 2. se înmulțesc numerele din interior => primul rezultat va fi cu 1 mai mic sau mai mare decât cel de-al doilea.(ex.8, 13, 21, 34:   8*34=272; 13*21=273; 273-272=1)

•Suma oricăror 10 numere adiacente este egală cu al 7lea număr din respectiva secvență înmulțit de 11 ori (ex.13+21+34+55+89+144+233+377+610+987=2563; al 7lea nr:233*11=2563)

•Secventa formata din proporția a două numere adiacente tinde spre valoarea constanta 1.6180339887…., numita “phi”, simbolizata prin litera greceasca Tau, t. (ex: 21/13=1,61……)

•Reciproca lui tau este  0.6180339887…, adică t-1. => t= 1/t+1.

•Proporția t = 1.6180339887… se mai numește și “proporția de aur”. Un dreptunghi ale cărui laturi se încadrează în această proporție, se numește “dreptunghi de aur” și era un concept aparent familiar vechilor greci. Acest dreptunghi stă la baza generării unei curbe cunoscută ca și “spirala de aur”, o spirală logaritmică ce are coresponente în natură. Grecii antici credeau ca exista un dreptunghi pe care ochiul uman il considera foarte atragator, si ca proportiile sale sunt date de radacina pozitiva a ecuatiei cuadratice: x^2 – x – 1=0.

•Această ecuație determină felul în care trebuie să împărțim un segment  de dreaptă în așa fel încât proporția întregii linii față de partea sa cea mai lungă să fie egală cu proporția părții sale cele mai lungi fața de cea mai scurtă. Această proporție este exprimată prin “numărul de aur” (t) = 1,61803398874…, cu un număr infinit de zecimale.

•Acest ”număr de aur” magic a fost folosit de grecii antici în arhitectură, un bun exemplu fiind Panteonul.

•Inspirați de greci, viitoarele generații de arhitecți și-au proiectat clădirile bazându-se pe această proporție minunată. Nici pictorii nu au ignorat-o. Se spune că Leonardo Da Vinci folosea proporția de aur pentru a păstra proporțiile figurilor umane din picturile sale.

Numerele de aur în natură

•Proporția de aur este esențială pentru a înțelege de ce numerele Fibonacci se regăsesc în natură ( flori, plante, cochilia melcului, pictură, arhitectură, ș.a.m)

•De menționat este faptul că numărul petalelor oricărei flori este un număr Fibonacci. Mai departe vom analiza dispunerea petalelor și semințelor de floarea soarelui și dispunerea spiralelor conurilor de pin.

Floarea soarelui

•Are un tipar compus din 2 tipuri de spirale, una în sensul acelor de ceas, cealaltă în sens invers. Dacă numărăm acele spirale, vom constata, că pentru majoritatea plantelor, media este de 21 sau 34 de spirale în sensul acelor de ceas  și 34 sau 55 de spirale în sens invers(toate fiind numere Fibonacci). Mai puțin comune sunt florile cu 55 și 89, cu 89 și 144 și chiar și cu 144 și 233 de spirale.

Conuri de pin și ananasul

•Conurile de pin au 5 spirale în sensul acelor de ceas și 8 în sens invers, ananasul are 8 spirale în sensul acelor de ceas și 13 în sens invers.

Plante cu petale în număr Fibonacci

Dacă nu mă credeți, numărați-le 🙂

Divergența plantei

•Frunzele se desfășoară în jurul tulpinii sub forma unei spirale, astfel încât oricum ar fi dispuse să nu se suprapună, fiecare frunză putând capta razele soarelui, astfel numărul de spire dintr-o direcție diferă de numărul spirelor din cealaltă direcție, ambele fiind numere Fibonacci.

•Numărul de spire dinspre dreapta, cu numărul de spire din stânga și cu numărul frunzelor sunt 3 numere Fibonacci adiacente ( fig. următoare).

•Astfel, divergența plantei( a speciei) reprezintă proporția dintre numărul de spire dintr-o parte și din cealaltă.

Brocoli

Degetele Fibonacci

•Uitați-vă la mâinile proprii:
•2 mâini ce au…
•… 5 degete fiecare…
• …. 3 degete separate prin câte 2 părți
•3 părți de separare consecutive au la capete 2 degete.
O coincidență
•Dacă măsurăm lungimile oaselor degetelor, constatăm că proporția dintre cel mai lung os al degetului și cel mai mic este ”phi” – ”numărul de aur.

Spirala logaritmică

•Dezvoltarea cochiliei Nautilus și traseul urmat de șoim atunci când se coboară asupra prăzii: în aceste cazuri, explicația e că P.A. e apropiată de spirala logaritmică, spirală ce se răsucește la un unghi constant pe întreaga sa lungime, ceea ce o face identică în orice parte a sa.

La melc:

•Pe măsură ce melcul se dezvoltă, are nevoie, în repetate rânduri, de un spațiu mai mare. Din moment ce melcul nu iși schimbă forma, ci doar mărimea, cea mai eficientă cale de acomodare este dezvoltarea cochiliei în forma unei spirale logaritmice.

La șoim:

•Șoimul trebuie să aibă tot timpul prada în câmpul său vizual. Deși are o vedere excelentă, poziția ochilor e fixă și laterală. Ceea ce face șoimul e să își încline capul, la un unghi de 40 de grade, și să își privească prada cu un singur ochi. Ținând capul înclinat la 40 de grade, șoimul își atacă prada fără să o scape din ochi. Unghiul fix al capului său e rezultatul spiralei cu unghiuri egale ce tinde spre pradă.

Iepurii și Fibonacci

•Fibonacci a studiat prima dată problematica înmulțirii iepurilor chiar în cartea sa publicată în 1202 ( Liber Abaci) ajungând la următoarea concluzie: prin reproducerea iepurilor rezultă perechi de numere Fibonacci:
•Presupunere: iepurii nu mor iar femela produce mereu o pereche ( mascul+femelă) în fiecare lună =>
=>  1. la sfârșitul primei luni avem o pereche ( 1 1)

  2. la sfârșitul celei de-a 2-a luni o nouă pereche( 1 1 2)

    3. la sfârștiul celei de-a 3-a luni prima pereche cu ce-a de-a 2-a pereche reproduc rezultând 3 perechi ( 1 1 2 3)

    4. în a4a luna fiecare femelă produce o nouă pereche => 5 perechi(1 1 2 3 5)

Curiozități

•Distanța dintre vârful capului și podea împărțită la distanța dintre buric și podea este egală cu numărul ”phi”.
•Numărul ”phi” se regăsește în: poezie, arhitectură, pictură, construirea piramidelor, muzică….. , în fiecare parte minusculă din natură.
•Leonardo Da Vinci credea că numărul ”phi” este proporția dintre înălțimea și lățimea unui fețe perfecte.

Keith Devlin – Fibonacci & The golden ratio

sursă youtube ( user MuseumOfMathematics)

Și uite că acesta a fost tot referatul meu despre Fibonacci și numerele lui. Nu știu câți ați avut răbdarea să ajungeți până la capăt ori pe câți dintre voi v-a plictisit… Cert e că s-or găsi și oameni cărora li se pare interesant ceea ce tocmai au citit ori vor citi cândva 🙂

4 gânduri despre &8222;Culturalizare cu Fibonacci&8221;

Spune-mi părerea ta!

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s